Als de satelliet hoog boven de aarde staat bereikt de zender een groot deel van de aarde.

Staat de satelliet wat dichter boven de aarde dan is het bereik veel kleiner.  Er bestaat dus een verband, een relatie tussen de hoogte waarop de satelliet boven het aardoppervlak vliegt en dat deel van de aarde wat bereikt wordt. Deze relatie willen we uitdrukken in een functie, namelijk: bereikt oppervlak van de aarde( A) als functie van de afstand van de satelliet tot de aarde (s): A=f(s)

Laten we eerst maar eens kijken hoe we dat kunnen aanpakken met 2 dimensies.

gegeven: De straal van de aarde (r) en de afstand van de satelliet S tot de aarde (s)

gevraagd: de relatie tussen  lengte bg DC en s. 

noodzakelijk voorkennis:

eigenschappen raaklijn

booglengte kunnen berekenen

definitie van arcos= acos = cos -1

oplossing:

we weten: SDM = 90

noem hoek SMD: α

lengte bg ED =  (α/360)x 2πr   (1)

cos α = r/(s+r) → α = arccos r/(s+r) (2)

(1) en (2) → lengte bg ED = ( (arccos r/(s+r))/360) x 2πr

dus: lengte bg DC = 2 x ( (arccos r/(s+r))/360) x 2πr

lengte bg DC is een functie van s. We kunnen dus ook schrijven:

f (s) = 2 x ( (arccos r/(s+r))/360) x 2πr

Opgave 1

We zijn zeker van onze zaak maar willen toch even een proef op de som nemen: als de satelliet heel hoog boven de aarde staat, laten we zeggen ergens bij Mars, met andere woorden als s naar oneindig gaat, dan bestrijkt de zender nagenoeg de halve wereldbol ( boog in dit geval). Check in de formule of dit klopt.

Opgave 2

Als r = 6400 km en s = 20200 km. Hoe groot is dan bg DC? En welk deel (%) wordt  dan bereikt

Maar als we dit allemaal kunnen, kunnen we ook uitrekenen hoe ver we kunnen kijken als we op de hogeschool staan! Of op de Euromast, de Eiffeltoren, of in een ballon.

Opgave 3

Als de Hogeschool in Rotterdam 60 meter is, hoever kunnen we dan kijken? Met andere woorden: hoe lang is SC

Opgave 4

We hebben ontdekt dat

f (s) = 2 x ( (arccos r/(s+r))/360) x 2πr

Maak een schets van de grafiek. Controleer dit met Geogebra

Antwoorden

Opgave 1

Als A gaat naar oneindig (∞),

dan (s+r) gaat naar ∞,

dus  r/(s+r) gaat naar 0,

dus arccos r/(s+r) wordt 90

dus lengte bg DC = 2 x ( 90/360) x 2πr = πr

Opgave 2

lengte bg DC = 2 x ( (arccos r/(s+r))/360) x 2πr   (1)

  = 2 x ( (arccos 6400/26600)/360) x 2πx6400

  = 2 x ( 76,078/360) x2πx6400

  = 16996 km

Omtrek aarde = 2πr

Halve omtrek aarde = πr      (2)

(1) en (2)  Bereikt deel = (2 x ( (arccos r/(s+r))/360) x 2πr/ πr) x 100%

                                = 84,53 %

Opgave 3

SC = 27713 meter

Opgave 4