| 
  • If you are citizen of an European Union member nation, you may not use this service unless you are at least 16 years old.

  • You already know Dokkio is an AI-powered assistant to organize & manage your digital files & messages. Very soon, Dokkio will support Outlook as well as One Drive. Check it out today!

View
 

tijdsynchronisatie GPS

Page history last edited by garst018@planet.nl 14 years, 10 months ago

 

 

GPS en de klok……

 

De meeste mensen dragen een horloge. Daarmee weet je altijd hoe laat het is. Dat wil zeggen; Je weet ongeveer hoe laat het is. Want sommige horloges zijn nauwkeurig tot op de minuut, anderen dan op de seconde, maar precieser geeft een horloge de tijd niet aan. Dat is natuurlijk meestal ook niet erg.

 

Anders zit dat met de klokken van een GPS-systeem. Het is cruciaal dat deze klokken de goede tijd aangeven met een enorme nauwkeurigheid. Anders werkt het systeem niet. Je GPS geeft dan bijvoorbeeld aan dat je je op het strand bevindt, terwijl je al varend op een boot de kust niet eens kan zien….

 

Na het maken van onderstaande opgave zul je begrijpen waarom de tijd zo’n belangrijke rol speelt bij de werking van GPS. Daarna leer je wat er precies gebeurt wanneer verschillende klokken in het GPS-systeem niet precies gelijk lopen. Tot slot ga je zelf aan de slag om te ontdekken hoe je deze klokken zo goed mogelijk gelijk kunt zetten. Succes!

 

 

 

‘Waar is Jesse?’

Opgave over positiebepaling met GPS

 

Jesse staat op een plaats op aarde met in z’n hand een GPS-systeem. Er zijn 2 satellieten (S1 en S2). Om deze opgave eenvoudig te houden gaan we er even vanuit dat Jesse zich ergens op een rechte lijn bevindt (zie de afbeelding).

 

 

Het GPS systeem van Jesse maakt contact met S1. Het door de satelliet uitgezonden signaal doet er ongeveer 0.1 seconde over om de GPS van Jesse te bereiken. Het signaal heeft een snelheid van 300.000 km per seconde (de lichtsnelheid).

 

 

 

a) Hoe ver staat S1 ongeveer van Jesse af?

 

 

 

Door heel precies te meten hoe lang het signaal van S2 erover doet om de GPS van Jesse te bereiken ‘weet’ het systeem dat de afstand tussen S2 en Jesse precies precies 20800 km is. De satellieten bevinden zich op precies 17920 km boven het aardoppervlak.

 

 

 

b) Bereken de afstand b.

 

 

De afstand tussen de satellieten S1 en S2 is 39360 km.

 

 

 

c) Bereken de afstand a

 

 

d) Bij opgave a heb je bepaald hoe ver S1 ongeveer van Jesse af staat. Bereken nu de preciese afstand.

 

 


Toelichting totstandkoming van de opgave:

 

 

De grootste uitdaging bij het maken van deze opgave was het vinden van 2 rechthoekige driehoeken, waarvan alle lengten gehele getallen zijn en de lange rechthoekzijde van één even lang is als de korte rechthoekzijde van de ander (zoals in de afbeelding).

 

 

Dat heb ik gedaan door op internet formules op te zoeken voor dit soort driehoeken:

 

a = k2 + 2k (n + 1) 

b = 2 (n+1) (k + n + 1)

c2 = a2 + b2  

 

Daarna heb ik de computer (m.b.v. excel) heel veel driehoeken laten bepalen (lengten van de zijden a, b, c in tabelvorm). Toen heb ik gekeken of er 2 driehoeken te vinden waren waarvan de zijde a van de één gelijk was aan de zijde b van een ander. Dit bleek het geval bij de driehoeken (896/1440/1696) en (528/896/1040). Daarna heb ik alle lengtes  met 20 vermenigvuldigd om zo de afstand van de satellieten tot de aarde zo’n beetje  reeel te krijgen.Uiteindelijk heb ik er daarom ook maar voor gekozen om met de lichtsnelheid te laten rekenen, want met 1 m/sec zou het signaal zo’n 9,5 uur onderweg zijn van S1 naar de GPS.

 

Aanwijzingen voor de docent:

 

Het gedeelte over het transit systeem en de GPS is opgezet als een onderwijsleer gesprek. Het is de bedoeling dat je samen met de leerlingen telkens antwoord krijgt op de centrale vraag. De informatie die daarvoor nodig is staat erbij. Ik denk persoonlijk dat dit het best werkt als je dit de leerlingen gewoon verteld. Het is ook helemaal niet de bedoeling dat je bijvoorbeeld de formule voor het Doppler-effect gaat behandelen. De opgaven kunnen wel door de leerlingen gemaakt worden. Veel moet hun bekend vorkomen vanuit de natuurkunde. Hou er rekening mee dat de meeste leerlingen maar ongeveer 8 nieuwe begrippen in een les erbij kunnen leren. Het kan dan ook verstandig zijn om het gedeelte over Het transit systeem en/of andere delen weg te laten.

 

Bijbehorende antwoorden

1. De tijd is evenredig aan de afstand. De afstand zal daardoor groter zijn.

2. 300 km.

3. λ= 3 cm.

4. λ = 2 mm

5. 6 seconde.

 

Het transit systeem:

 

Centrale vraag:

Hoe kun je met één satelliet je plaats bepalen?

 

Tweede vraag:

Waarom duurde het op de evenaar langer om je plaats te bepalen?

 

Het systeem werkte vanaf 1959 met 6 satellieten die in verschillende banen die over beide polen gingen. Ze deden dit op een hoogte van 960 km in een tijdsperiode van 106 minuten. Verder werd er gebruikgemaakt van drie grondstations. Voor de juiste plaatsbepaling was maar één satelliet nodig. 

Een goede plaatsbepaling op de evenaar was mogelijk binnen 110 minuten. Hoe groter de breedte graad des te sneller kon je de plaats bepalen. Bij voorbeeld op breedte graad 80˚ duurde dit slecht 30 minuten. Het systeem maakte gebruik  van het Doppler effect. Voor het Doppler effect geldt:

 

 

Formula 

 

 

Hierin is:          f 0 de uitgezonden frequentie

                        v de snelheid van de satelliet

                        c de lichtsnelheid

                        f de frequentie die je uiteindelijk hoort.

 

Op het moment de frequentie van de satelliet van toon hoogte veranderd weet je dat de satelliet niet meer naar je toe beweegt maar van je af. Je kent op dat moment de exacte plaats van de satelliet en de hoogte. Dmv de grootte van de verschuiving van de frequentie is ook te bepalen in welke baan de satelliet zich begeeft. Hoe dat berekend kan worden gaat hier iets te ver. Het heeft er mee te maken dat de hoek waaronder hij van je af beweegt bepalend is voor de verschuiving.

Grote nadelen van dit systeem waren de onnauwkeurigheid en het lange wachten tot men zijn positie kon bepalen. Sinds 1996 is het systeem niet meer in gebruik.

 

Het GPS

 

Centrale vragen:

 

Hoeveel satellieten heb je nodig om je plaats te bepalen?

 

Om je plaats te bepalen op een lijn heb je twee satellieten nodig. Om je plaats in het platte vlak heb je er drie nodig. In een drie dimensionale ruimte heb je als je zo door redeneert er vier nodig. In de praktijk blijkt echter dat één van deze twee punten zo ver van het aard oppervlak ligt dat hij buiten beschouwing gelaten kan worden. In theorie heb je er dus vier nodig maar in de praktijk blijken drie voldoende.

In werkelijkheid duurt het zo´n 63 tot 70 ms voor een signaal de GPS bereikt waardor de drie punten nooit precies zullen samenvallen. De GPS berekend met deze drie punten de meest waarschijnlijke positie.

 

Waarom is het synchroniseren van tijd zo belangrijk?

 

Om de exacte plaats te bepalen moet je weten hoe lang een signaal onder weg is. Omdat de microgolven zich met de lichtsnelheid voortplanten kunnen kleine verschillen in tijd al grote verschillen in afstand veroorzaken.

 

Opgave 1:

Als je GPS 1 seconde voor loopt. Meet hij dan een te grote of een te kleine afstand?

 

Opgave 2 :

Een satelliet bevindt zich normaal gesproken op ongeveer 20.000 km hoogte. Microgolven verplaatsen zich met de lichtsnelheid. Dit is 300.000 km/s. Stel de satelliet staat pal boven je. Als je klok 0,001 seconde voor loopt wat zal dan het verschil zijn met de werkelijke afstand die hij meet?

 

Opgave 3:

In een satelliet zijn vier atoom klokken aan boord, twee rubidium atoomklokken en twee cesium atoomklokken. Die met rubidium worde gebruikt voor het verzenden van signalen.

 

In theorie zendt rubidium microgolven uit met een frequentie 10,23 MHz = 10,23 x 109 Hz .

 

Met de formule T= 1/f  kun je de bijbehoren de golflengte berekenen.

 

Bereken de trillingstijd T van deze microgolf?

Hoe groot zal dan de golflengte (λ) van deze trilling zijn? Er geldt: λ= c x T

 

Opgave 4:

Voor het uitzenden van de signalen voor burgerlijke en militaire doeleinden gebruikt de satelliet een frequentie die 154 keer zo groot is als die van rubidium.

 

f=154x10,23 MHz=1575,42 MHz.

Bereken de golflengte die hier bij hoort.

 

Hoe lang heb je minimaal nodig om de tijd te synchroniseren?

 

Als je precies weet waar je bent heb je feitelijk maar één satelliet nodig om je tijd te synchroniseren.

Een satelliet zendt bits uit met een frequentie van 50 bits per seconde. Het hele signaal bestaat uit 5 verschillende onderdelen van 6 seconde. In één van die onderdelen wordt door gegeven wat op dat moment de tijd is. Omdat je het hele onderdeel moet afluisteren zal het maximaal 36 seconde duren voor je de juiste tijd van de satelliet kan overnemen.

 

Opgave 5:

Wat zal de kortst mogelijke tijd zijn om de tijd te synchroniseren?

 

Waarom heeft het systeem een onnauwkeurigheid van ongeveer 10 meter?

Om daar antwoord op te vinden moet je terug naar de golflengte van rubidium. Deze was 3cm en is gelijk de nauwkeurigheid van de klok in de satelliet. Het hele signaal duurt maximaal 36 seconde. 36x3= 108 cm = ±10m. In de praktijk zal dit uiteraard nauwkeuriger zijn omdat we nu van het meest ongunstige geval uitgaan. Bovendien hebben we minimaal drie satellieten om de plaats te bepalen.

 

 sommetjes

 

In de volgende bijlage zijn wat opgaven die uitkomen op de algebraische formule die nodig is voor de tijdfout correctie. 

 

GPS en tijdsynchronisatie EB.doc 

 

achtergrondinfo

 

Hier een excel file met daarin de mogelijkheid om te spelen met de meetfout. De fout in de tijd in waarde x is dezelfde fout als in de waarde y. Dus door te kijken wat er gebeurt bij een bepaalde waarde voor de meetfout kun je met handig kiezen steeds beter de echte tijd benaderen.

 

tijdfout correctie GPS.xls

Een wiskundig probeersel

 

 

Formula:

 

Als a=1 en d=1 , x =  AK en y = BK krijgen we de volgende kromme K:

 

 

Formula:

 

Onderzoek deze kromme.

Als de klok niet goed loopt, dan krijgen we de kromme:

 

Formula:

 

Dat levert de oplossing voor het tijdsprobleem.

Dat geeft een aantal vragen:

 

  1. Welke eigenschappen van de kromme kunnen we bedenken?
  2. Hoe brengen we deze kromme bij de leerlingen?

 

 

 

 

Een beetje uitleg over de Excel sheets:

Op het eerste tabblad, dat “voorbeeld” heet, kun je zien dat bij de formule

Formula 

voor sommige combinaties van x en y de afstand precies 1 is (bijvoorbeeld x=1 en y=√2 ). Bedenk zelf eens waar je dan precies staat. Andere combinaties komen niet precies uit, daar zit een meetfout in. Dus het klokje van de GPS ontvanger stond daar niet goed ingesteld, en de plaatsbepaling komt daar niet goed uit.

 

 

Nu willen we de juiste plaats weten, door gunstig uit te gaan proberen. Dit noemen we “itereren”. We weten dat een foute tijd in de GPS ontvanger tot een fout in zowel afstand x als afstand y leidt.

De formule die we hier gaan gebruiken is

  Formula.

 

Nu moet deze formule weer zo dicht mogelijk bij 1 komen.

 

Door de waarde voor delta goed te kiezen, kunnen we steeds dichter bij 1 terecht komen. Een voorbeeld daarvan kun je zien in de tabel met waarden voor delta en totaal. Hiervan is ook een grafiek gemaakt (totaal vs delta). De waarde 1 wordt steeds dichter benaderd, en de waarde voor delta wordt steeds nauwkeuriger berekend. Hiermee kun je dan de juiste waarden voor x en y berekenen, zodat je kunt bepalen waar je bent.

 

Op het tabblad “zelf proberen” kun je met verschillende delta waarden zelf aan de slag. Kies elke volgende waarde zo handig dat je zo min mogelijk berekeningen nodig hebt. Ga eens naar een totaal waarde van 1 met een nauwkeurigheid van 4 cijfers achter de komma. Het moet dus afgerond op 4 cijfers nauwkeurig 1 zijn.

 

Comments (0)

You don't have permission to comment on this page.